Fòrum

Resultats curiosos de Matemàtiques

saturos473 3👍 463
Obro fil per tal de compartir fets que us semblin curiosos, interessants i/o sorprenents en Matemàtiques. Intentaré actualitzar-lo cada setmana amb un o dos fets si tinc temps per tal que no mori el fil.

Com que crec que el LaTeX no funciona gaire bé, descriuré les expressions en paraules també.

Respostes

Configuració
  • saturos473 3👍 463
    Siguin 0<a<b<infinit dos nombres reals positius donats, i sigui $f$ una funció contínua al tancat [a,b]. Si suposem que per a qualsevol $n in N$ nombre natural (o sia més gran o igual que 1),

    [ int_a^b x^n f(x) dx=0]

    En altres paraules, la integral de f(x) contra la potència x^n és 0, aleshores $f=0$.

    La prova es basa en el teorema de Stone-Weierstrass, estenent la funció f per continuïtat a [0,b] de manera que f(0)=0 (denotant encara per abús de llenguatge per $f$ l'extensió esmentada), utilitzant la linealitat de les integrals, i el fet que si $f$ és contínua i tal que
    [ int_a^b f^2(x) dx=0,] (i.e. la integral de $f$ elevada al quadrat)
    aleshores f=0.

    Això ho podem interpretar com el fet que els polinomis x^n són densos en L^2([a,b]), o bé com una mena de coeficients de Fourier de $f$ generalitzats a polinomis.

    Malgrat això, aquest fet no és cert si considerem l'interval [0,infty), que deixa de ser compacte. En aquest cas, hom pot demostrar sent curós amb la inducció que la funció

    f(x)=e^{-x^(1/4)}sin(x^(1/4)), que és clarament contínua arreu i tal que totes les integrals de 0 a infinit tenen sentit com a integrals impròpies (pel lent creixement de l'exponencial), que aquesta funció integra a 0 contra totes les potències de $x^n$ (n geq 1), però òbviament no és la funció 0.

    Crec que és una curiosa instància de la importància de la compacitat, i de com no es pot esperar generalitzar de la manera més naïf certs resultats.
  • prou_prusses961👍 504

    Bon fil. Però es llegeix bastant malament, no ho podries obrir en una plataforma on es pugues posar latex o semblant?

    a males, posa-ho en angles a mathoverflow i els enllaces aqui.

  • Mcasas9.643 13 224👍 4.098
    Molt bona iniciativa. Potser podries generar un pdf i penjar-lo com a imatge?
  • prou_prusses961👍 504
    Administradors, podrieu implementar compatibilitat amb latex o les mates de la wikipedia?
  • Defectible7.981 270



    Disculpa si et desvio el fil, saturos, jo realment no tinc res que aportar.

    Almenys te'l pujo
  • ziol7.641 15 284👍 3.171

    Realment el dia que vaig llegir que 1/1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25… o sigui, la suma dels inversos dels quadrats dels nombres naturals era π²/6 vaig pensar que era molt curiós. Anys més tard, quan em vaig assabentar que la probabilitat que dos nombres naturals no tinguessin cap factor comú era precisament 6/π², també em va semblar curiós. I més encara quan em van mostrar la relació entre els dos fets. Però suposo que a molta gent aquesta mena de resultats no li diu res.

    Potser, el que sí poden semblar curiosos a més persones són resultats més «visibles», específicament els geomètrics, i n’esmentaré dos de senzills que al menys a mi em van cridar l’atenció per inesperats:

    ★ Dins d’un cub que faci 1 × 1 × 1, s’hi pot ficar un quadrat més gran que 1 × 1.
    ★ Si volem posar a la superfície d’una esfera quatre punts el més allunyats possible, la solució són els quatre vèrtexs d’un tetràedre regular inscrit. Però si són vuit punts, la solució no són els vuit vèrtexs d’un cub inscrit, que per simetria, és el primer que vaig pensar.

    Deixo obertes les solucions per si algú les vol cercar.

  • the_west_rulez15.330 3 126👍 14.794
    Aviam qui endevina on és la fal.àcia (si teniu l'ESO i us en recordeu de tot el que vau fer a mates l'hauríeu de trobar):

  • saturos473 3👍 463
    Aquesta setmana porto un parell de resultats sobre automorfismes de cossos, en particular els reals i complexos.

    Els dos resultats principals són que R només té un automorfisme, és a dir, la identitat, però tan bon punt anem a C, aquí la varietat comença a pujar molt, i en tenim a cabassos.
    A més, els que no són els trivials: identitat i/o conjugació tenen unes propietats estranyes: són tals que la imatge del subcos R és densa en C! (La imatge d'una línia ocupa molta part del pla C, intuïtivament)

    No he donat demostracions de tots els resultats amb pèls i senyals, però espero que sigui més o menys seguible, si algú vol algun detall més, que m'escrigui. D'altra banda, tampoc he demostrat que els isomorfismes de C exòtics existeixen, però he donat la idea d'usar bases de Hamel per a construir-los.

    https://imgur.com/a/M5pLHIS


    • gerd8.757 12 248👍 1.750
      Aquests isomorfismes exòtics de què parles es poden construir o "existeixen" i no es poden trobar perquè es dedueixen de l'axioma de l'elecció?
      • saturos473 3👍 463
        Depèn de què entenguis per construir i/o existeixen. Que jo sàpiga, una manera ràpida i fàcil de produir-los és usant que R té una base sobre Q com a espai vectorial. Això és evident si assumim l'Axioma de l'Elecció, però no sé si és exactament equivalent; és possible que amb molta paciència i resultats de Lògica no trivials es pugui demostrar que existeixen models ZF i algun axioma més dèbil que l'Elecció que t'ho fant. D'altra banda, si ets constructivista total, crec que tals isomorfismes "no existeixen".

        Personalment, com que l'Anàlisi Funcional depèn crucialment de Hahn-Banach, no tinc gaire problemes en acceptar Elecció, o sigui que per a mi tot el que he dit existeix i es pot construir.

        Ja que parlem de funcions curioses constructibles amb bases de Hamel, no em puc estar de dir que si acceptes elecció pots trobar dues funcions periòdiques f_1, f_2 tals que

        f(x)=f_1(x)+f_2(x)=x en els reals 
        • gerd8.757 12 248👍 1.750
          Com va aquest argument? Així a primer cop d'ull si f_1, f_2 són periòdiques (i contínues, que no ho has dit però ho assumeixo), aleshores estan fitades i existeix x tal que x > sup(f_1) + sup(f_2).
          • saturos473 3👍 463
            Si assumeixes que f_1 i f_2 són contínues, aleshores el resultat no és cert. La suma de dues funcions contínues és una funció gairebé periòdica en el sentit de Bohr, i f(x)=x no satisfà aquesta condició. (Mira la pàgina de la Wikipedia de Bohr Almost Periodic Functions)

            Per tant la idea és agafar una base de Hamel i mirar la funció que aplica a cada element la component d'un element com a f_1. Si vola te'n puc donar més detalls
        • gerd8.757 12 248👍 1.750
          PS: no tinc cap opinió en particular sobre l'axioma de l'elecció. Té conseqüències molt curioses però en general et fa la vida molt fàcil, i algunes demostracions súper naturals es converteixen en un autèntic maldecap si en vols prescindir.
  • badall1.327 9👍 172
    Aquesta setmana s'ha descobert que:

    33 = 8866128975287528³ − 8778405442862239³ − 2736111468807040³

    Sembla una ximpleria però feia temps que es buscava si 33 es podia escriure com a suma de tres cubs. Hi ha un vídeo sobre el tema https://www.youtube.com/watch?v=wymmCdLdPvM encara que trobo que està molt poc explicat.
  • Javier Melenchón1👍 1
    Una figura generada a partir de la revolució al voltant de l'eix x de la funsió y=1/x té una característica molt curiosa: té volum finit, però àrea infinita. És a dir és una figura que podem omplir amb N cubells de pintura, però necessitem inifinits cubells per pintar-la. Curiós, oi?
  • saturos473 3👍 463
    Després d'una setmana una mica moguda, torno amb un resultat sobre cossos de característica 0.

    https://imgur.com/a/IijQSB4

    Important dir que el resultat tracta de subgrups respecte només l'operació + dins el cos (ignorant el producte, o altrament és molt més fàcil, fins i tot caracteritzar els ideals).

    La prova que he escrit no valdria en general en característica positiva, però no sé si hi ha contraexemples o bé una altra manera de provar el resultat. Si algú ho sap, que ho comenti!
  • Armillet Lo Groc1.064👍 606
    Algu coneix la suma de tots els nombres naturals? 

    1+2+3+4+5+6+7+8+....=?

Publicitat

Fòrums

  • 9.286.460 missatges
  • 220.701 temes
Fixa la barra dreta
Accedeix als fòrums Normes dels fòrums

Fils
més votats

Accedeix als fils més votats
Publicitat