Atenció: Aquest fil té més d'un any d'antiguitat, i els seus continguts podrien haver quedar obsolets.


L'equació que ha causat la fallida dels bancs (article al The Guardian)

gerd 7.865 10 268 👍 685

Article traduït al català (cortesia de Google Translator)


Font. Escrit per Ian Stewart.



The mathematical equation that caused the banks to crash

The Black-Scholes equation was the mathematical justification for the trading that plunged the world's banks into catastrophe

In the Black-Scholes equation, the symbols represent these variables: σ = volatility of returns of the underlying asset/commodity; S = its spot (current) price; δ = rate of change; V = price of financial derivative; r = risk-free interest rate; t = time. Photograph: Asif Hassan/AFP/Getty Images

It was the holy grail of investors. The Black-Scholes equation, brainchild of economists Fischer Black and Myron Scholes, provided a rational way to price a financial contract when it still had time to run. It was like buying or selling a bet on a horse, halfway through the race. It opened up a new world of ever more complex investments, blossoming into a gigantic global industry. But when the sub-prime mortgage market turned sour, the darling of the financial markets became the Black Hole equation, sucking money out of the universe in an unending stream.

  1. Seventeen Equations that Changed the World
  2. by Ian Stewart
  3. Buy it from the Guardian bookshop
Search the Guardian bookshop
  1. Tell us what you think:Star-rate and review this book

Anyone who has followed the crisis will understand that the real economy of businesses and commodities is being upstaged by complicated financial instruments known as derivatives. These are not money or goods. They are investments in investments, bets about bets. Derivatives created a booming global economy, but they also led to turbulent markets, the The equation itself wasn't the real problem. It was useful, it was precise, and its limitations were clearly stated. It provided an industry-standard method to assess the likely value of a financial derivative. So derivatives could be traded before they matured. The formula was fine if you used it sensibly and abandoned it when market conditions weren't appropriate. The trouble was its potential for abuse. It allowed derivatives to become commodities that could be traded in their own right. The financial sector called it the Midas Formula and saw it as a recipe for making everything turn to gold. But the markets forgot how the story of King Midas ended.

Black-Scholes underpinned massive economic growth. By 2007, the international financial system was trading derivatives valued at one quadrillion dollars per year. This is 10 times the total worth, adjusted for inflation, of all products made by the world's manufacturing industries over the last century. The downside was the invention of ever-more complex financial instruments whose value and risk were increasingly opaque. So companies hired mathematically talented analysts to develop similar formulas, telling them how much those new instruments were worth and how risky they were. Then, disastrously, they forgot to ask how reliable the answers would be if market conditions changed.

Black and Scholes invented their equation in 1973; Robert Merton supplied extra justification soon after. It applies to the simplest and oldest derivatives: options. There are two main kinds. A put option gives its buyer the right to sell a commodity at a specified time for an agreed price. A call option is similar, but it confers the right to buy instead of sell. The equation provides a systematic way to calculate the value of an option before it matures. Then the option can be sold at any time. The equation was so effective that it won Merton and Scholes the 1997 Nobel prize in economics. (Black had died by then, so he was ineligible.)

If everyone knows the correct value of a derivative and they all agree, how can anyone make money? The formula requires the user to estimate several numerical quantities. But the main way to make money on derivatives is to win your bet – to buy a derivative that can later be sold at a higher price, or matures with a higher value than predicted. The winners get their profit from the losers. In any given year, between 75% and 90% of all options traders lose money. The world's banks lost hundreds of billions when the sub-prime mortgage bubble burst. In the ensuing panic, taxpayers were forced to pick up the bill, but that was politics, not mathematical economics.

The Black-Scholes equation relates the recommended price of the option to four other quantities. Three can be measured directly: time, the price of the asset upon which the option is secured and the risk-free interest rate. This is the theoretical interest that could be earned by an investment with zero risk, such as government bonds. The fourth quantity is the volatility of the asset. This is a measure of how erratically its market value changes. The equation assumes that the asset's volatility remains the same for the lifetime of the option, which need not be correct. Volatility can be estimated by statistical analysis of price movements but it can't be measured in a precise, foolproof way, and estimates may not match reality.

The idea behind many financial models goes back to Louis Bachelier in 1900, who suggested that fluctuations of the stock market can be modelled by a random process known as Brownian motion. At each instant, the price of a stock either increases or decreases, and the model assumes fixed probabilities for these events. They may be equally likely, or one may be more probable than the other. It's like someone standing on a street and repeatedly tossing a coin to decide whether to move a small step forwards or backwards, so they zigzag back and forth erratically. Their position corresponds to the price of the stock, moving up or down at random. The most important statistical features of Brownian motion are its mean and its standard deviation. The mean is the short-term average price, which typically drifts in a specific direction, up or down depending on where the market thinks the stock is going. The standard deviation can be thought of as the average amount by which the price differs from the mean, calculated using a standard statistical formula. For stock prices this is called volatility, and it measures how erratically the price fluctuates. On a graph of price against time, volatility corresponds to how jagged the zigzag movements look.

Black-Scholes implements Bachelier's vision. It does not give the value of the option (the price at which it should be sold or bought) directly. It is what mathematicians call a partial differential equation, expressing the rate of change of the price in terms of the rates at which various other quantities are changing. Fortunately, the equation can be solved to provide a specific formula for the value of a put option, with a similar formula for call options.

The early success of Black-Scholes encouraged the financial sector to develop a host of related equations aimed at different financial instruments. Conventional banks could use these equations to justify loans and trades and assess the likely profits, always keeping an eye open for potential trouble. But less conventional businesses weren't so cautious. Soon, the banks followed them into increasingly speculative ventures.

Any mathematical model of reality relies on simplifications and assumptions. The Black-Scholes equation was based on arbitrage pricing theory, in which both drift and volatility are constant. This assumption is common in financial theory, but it is often false for real markets. The equation also assumes that there are no transaction costs, no limits on short-selling and that money can always be lent and borrowed at a known, fixed, risk-free interest rate. Again, reality is often very different.

When these assumptions are valid, risk is usually low, because large stock market fluctuations should be extremely rare. But on 19 October 1987, Black Monday, the world's stock markets lost more than 20% of their value within a few hours. An event this extreme is virtually impossible under the model's assumptions. In his bestseller The Black Swan, Nassim Nicholas Taleb, an expert in mathematical finance, calls extreme events of this kind black swans. In ancient times, all known swans were white and "black swan" was widely used in the same way we now refer to a flying pig. But in 1697, the Dutch explorer Willem de Vlamingh found masses of black swans on what became known as the Swan River in Australia. So the phrase now refers to an assumption that appears to be grounded in fact, but might at any moment turn out to be wildly mistaken.

Large fluctuations in the stock market are far more common than Brownian motion predicts. The reason is unrealistic assumptions – ignoring potential black swans. But usually the model performed very well, so as time passed and confidence grew, many bankers and traders forgot the model had limitations. They used the equation as a kind of talisman, a bit of mathematical magic to protect them against criticism if anything went wrong.

Banks, hedge funds, and other speculators were soon trading complicated derivatives such as credit default swaps – likened to insuring your neighbour's house against fire – in eye-watering quantities. They were priced and considered to be assets in their own right. That meant they could be used as security for other purchases. As everything got more complicated, the models used to assess value and risk deviated ever further from reality. Somewhere underneath it all was real property, and the markets assumed that property values would keep rising for ever, making these investments risk-free.

The Black-Scholes equation has its roots in mathematical physics, where quantities are infinitely divisible, time flows continuously and variables change smoothly. Such models may not be appropriate to the world of finance. Traditional mathematical economics doesn't always match reality, either, and when it fails, it fails badly. Physicists, mathematicians and economists are therefore looking for better models.

At the forefront of these efforts is complexity science, a new branch ofBy studying ecological systems, it can be shown that instability is common in economic models, mainly because of the poor design of the financial system. The facility to transfer billions at the click of a mouse may allow ever-quicker profits, but it also makes shocks propagate faster.

Was an equation to blame for the financial crash, then? Yes and no. Black-Scholes may have contributed to the crash, but only because it was abused. In any case, the equation was just one ingredient in a rich stew of financial irresponsibility, political ineptitude, perverse incentives and lax regulation.

Despite its supposed expertise, the financial sector performs no better than random guesswork. The stock market has spent 20 years going nowhere. The system is too complex to be run on error-strewn hunches and gut feelings, but current mathematical models don't represent reality adequately. The entire system is poorly understood and dangerously unstable. The world economy desperately needs a radical overhaul and that requires more mathematics, not less. It may be rocket science, but magic it's not.

Ian Stewart is emeritus professor of mathematics at the University of Warwick. His new book 17 Equations That Changed the World is published by Profile (£15.99)







  • elsenyordelesmosques 10.228 8 187 👍 16

    Soros diu "no inverteixis mai en una cosa que no entens" i aixi estem


  • sau 6.520 10 296

    Collons, el teu teclat no deu anar gaire fi, aquest català que has escrit el trobo diferent...

  • tresfancarga Usuari sumador 4.867 12 441 👍 467

    M'encanta el teu català d'Oxford. O és de Cambridge?

  • __27371__ 5.636 6

    La bogeria coŀlectiva mai podrà expressar-se matemàticament...

  • pastor_de_bits 9.420 7 214 👍 800

    Això és el racó guiri o què?

  • __3164__ 7.671 12

    El que es per mi ja em va bé en anglés, de tant en tant, es una llengua que necessito practicar i amb articles aixi em va bé. El que faré es primer llegir-lo en català en el teu enllaç i després provar de llegir-lo en anglès. En el tema de l'anglés o francés jo faria una excepció al Racó, ens pot anar bé a tots anar millorant.

  • ziol 5.966 13 344 👍 1.172

    Entre els anys 70 i l'actualitat, ha canviat la percepció que és té dels models basats en equacions diferencials, especialment les de segon ordre, que són les que més apareixen en la pràctica.

    Un exemple és el moviment de cossos sotmesos a la gravetat, que es pot reduir a equacions d'aquesta mena. Recordo que als llibres i a la universitat ens deien «el cas de dos cossos està clarament solucionat, però el de tres encara no», com si fos qüestió de saber-ne més per tenir la solució exacta més enllà d'algun cas molt particular.

    Però aleshores es va desenvolupar la teoria del caos. Si no s'havia fet abans, és perquè sense ordinadors —de fet els primers desenvolupaments es van fer amb calculadores de butxaca programables—, fer números era moltíssima feina, i en general es tendia a les equacions analítiques que es solucionaven per aproximació després de fer algunes hipòtesis simplificadores.

    Fins aquell moment es creia —amb molta raó perquè en els casos que es podien solucionar de manera exacta era així— que les solucions a les equacions d'aquesta mena eren o bé tendir a un equilibri, oscil·lar al seu entorn o divergir asimptoticament. Només en alguns casos, com el moviment d'un petit pèndol que penja d'un pèndol més gran, la cosa es complicava més i, o bé la solució podia ser completament imprevisible, o saltava a l'atzar entre un conjunt de moltes possibles solucions diferents.

    La teoria del caos ens va ensenyar que aquests són els casos generals.

    I si no ho són sempre, és perquè hi ha mecanismes d'estabilització. Per exemple, el flux d'un líquid, per sota d'unes determinades condicions, és laminar i estable, però sense aquestes condicions és torna turbulent, per dir-ho amb paraules senzilles, poden aparèixer remolins en qualsevol punt, on el líquid pot anar en direcció contrària al flux general.

    En economia passa el mateix, amb un model simplificat amb pocs actors, i potser algun paràmetre amortidor com és un temps de resposta elevat o taxes no lineals, les solucions a les equacions del models són estables o en tot cas oscil·len periòdicament. Però en la realitat i sense amortidors, el comportament és totalment caòtic.

    En sentit matemàtic, que vol dir que canvis ínfims en les condicions inicials generen aviat solucions totalment diferents; i que cas que la solució s'estabilitzi, no és previsible en quin punt ho farà.

    Per allò dels factors amortidors, com menys regulat sigui el mercat més caòtic serà, cosa que intuïtivament també és força certa.

    Però on falla sovint la intuïció, és en pensar que en cas de caos seran els més llestos —o més treballadors, diuen— els que en sortiran beneficiats. No, la teoria diu que no, diu que en un grau molt elevat tot depèn de l'atzar, però la psicologia humana, que és força ludòpata, tendeix a pensar el contrari —si no, ningú no aniria als casinos—. M'he trobat força gent liberal que de fet expressen la seva vena ludòpata: pensen inconscientment que una desregularització generarà un caos del qual se'n podran aprofitar.

    Tot això no vol dir que els models no serveixin per a res, que ningú pugui treure profit a la seva intel·ligència, perquè en realitat sí que existeixen factors amortidors, si més no, a llarg termini. Factors com pot ser el fet que la producció està limitada per la disponibilitat de recursos, dit d'una altra manera, hi ha com una mena d'impost natural progressiu: quan tens moltíssims guanys no els pots doblar treballant el doble, perquè algun d'ells depèn de factors finits.


    • gerd 7.865 10 268 👍 685

      Pel que fa al problema dels 3 cossos, fa temps que s'estudia des del punt de vista de la teoria qualitativa d'equacions diferencials. De memòria no et sé dir quins resultats existeixen sobre la impossibilitat d'expressar la solució com a composició de funcions elementals, però en tot cas, només amb les simulacions numèriques, ja va quedar clar que aquest no era un camí viable. Quan es pot, s'estudien estabilitat i bifurcacions, però tot i la diversitat i interès de la investigació, sovint (molt simplificadament), els mètodes consisteixen en fer Taylor. No existeixen, pràcticament, teoremes que permetin assegurar que un sistema dinàmic tindrà caos, per començar perquè la definició de caos és complexa i varia segons l'aspecte d'interès. És, en definitiva, molt molt fotut predir l'evolució de sistemes dinàmics (tant de continus en el temps com de discrets), i si a sobre el model és en derivades parcials, la dificultat augmenta d'ordre. Hi ha gent molt capaç treballant-hi (no són tots com en Sala Martí que deia que "la crisi és culpa dels matemàtics que van fer unes fórmules que no entenia ningú"), però ara mateix la situació és la que és.

      Dit això, l'equació de Black-Scholes, deixant de banda que és un model limitat, no suposa cap mena de problema, perquè amb un canvi de variable es transforma en l'equació de la calor, molt estudiada, amb diversos teoremes d'acotament, i de solució analítica coneguda en condicions prou raonables.

      • ziol 5.966 13 344 👍 1.172

        Clàssicament, els astrònoms estàvem una mica enganyat respecte en problema dels n cossos, ja que els casos coneguts —planetes i satèl·lits del sistema solar o estrelles múltiples— eren quasi estables. Fins el punt que a mi em van ensenyar que Laplace havia demostrat l'estabilitat del sistema solar a llarg termini, cosa que és falsa, en diversos càlculs a escala de milers de milions d'anys, les òrbites dels planetes interiors poden esdevenir caòtiques, en el sentit d'haver-hi possibilitat remota d'impactes o d'expulsions del sistema solar. Fins i tot ara tenim la sospita que en un determinat moment —per culpa d'una ressonància un a dos, entre Júpiter i Saturn— el sistema solar exterior va tenir un comportament força caòtic amb encontres propers entre planetes, cosa que explicaria el fet que sembla que Neptú s'hagués format més prop del Sol que Urà, o la inclinació de l'eix de rotació d'aquest planeta.

        Va ser pels anys 70, quan vam poder començar a fer simulacions numèriques, que vam veure que el cas general dels n cossos —posicions i velocitats inicials al atzar dins uns límits— era quasi sempre caòtic, en el sentit que una variació molt petita de les condicions inicials, generava aviat solucions molt divergents.

        Naturalment que el cas de l'economia és molt pitjor, fins i tot —no coneixia aquesta equació en concret— si l'equació de Black-Scholes es transforma en una de calor, això ja és una indicació de la seva limitació; la inexistència de termes de segon ordre en t ho confirma, no hi podria haver solucions periòdiques o quasi periòdiques, al igual que en els problemes de transferència tèrmica. A més, la quantitat de factors rellevants, molts d'ells aleatoris, és infinitament superior als casos dels planetes, la transmissió de calor, o fins i tot els fluxos turbulents.

        • enriquito 8.691 13 244 👍 365

          ziol escrigué:

          Clàssicament, els astrònoms estàvem una mica enganyat respecte en problema dels n cossos, ja que els casos coneguts —planetes i satèl·lits del sistema solar o estrelles múltiples— eren quasi estables. Fins el punt que a mi em van ensenyar que Laplace havia demostrat l'estabilitat del sistema solar a llarg termini, cosa que és falsa, en diversos càlculs a escala de milers de milions d'anys, les òrbites dels planetes interiors poden esdevenir caòtiques, en el sentit d'haver-hi possibilitat remota d'impactes o d'expulsions del sistema solar.


          Home, el consens actual sobre aquest tema és el teorema de Kolmogorov-Arnold-Moser, que diu precisament que aquesta possibilitat és extremadament remota, hom diria impossible, és a dir, té probabilitat zero.

          • ziol 5.966 13 344 👍 1.172

            Baixa però no molt remota, he vist diverses simulacions i en una d'elles —representativa— surt que hi ha un 2% de probabilitats que l'òrbita de Mercuri esdevingui caòtica en un termini de 2.500 milions d'anys, en principi, augmentant l'excentricitat fins el punt de tenir un encontre proper amb Venus. Curiosament, en una de les simulacions, la probabilitat es dobla si s'empren només les equacions newtonianes pel moviment de mercuri, per algun motiu la correcció relativista, sembla «protectora».

            Mart també podria variar considerablement l'òrbita si entra en ressonància amb Júpiter, encara que aquí la probabilitat sembla més remota en el temps que el cas de Mercuri. Però de totes maneres, quan el Sol continuï perdent massa, Mart acabarà entrant en ressonància 6:1 que és fortament inestable (ara és 6,3:1)

        • gerd 7.865 10 268 👍 685

          Per als seus propòsits, aquesta equació funciona prou bé. El problema ha estat (pel que puc entendre) que molts l'han pres com una equació determinista pura. Aquesta equació no és (ni pretén ser) un model del mercat global, és una equació que proporciona el preu per a opcions a termini fix, una cosa bastant concreta. Després de la seva publicació l'any 70 i pico (i arrel de ressenyes en diverses publicacions), el mercat de derivats va entrar en efervescència, i es van començar a crear productes financers molt més subtils i difícils d'analitzar (apostes sobre apostes, i aquesta mena de coses) fins que ha acabat passant el que està passant. L'error és, principalment, humà.


          PD: Em van comentar a classe l'any passat que cert matemàtic/físic (ara no en recordo el nom) va estudiar la possibilitat que la Terra s'acabés escapant del sistema solar, i va demostrar que era possible però que si acabava passant seria d'aquí a diversos cops l'edat de l'univers, per tant no es tracta de res gaire preocupant

          • ziol 5.966 13 344 👍 1.172

            És més possible que mori per impacte amb Mercuri o fins i tot Mart.

            Però es podria evitar…

            He vist un estudi que explica com allargar la vida a la Terra quan la temperatura, per culpa de l'augment de radiació solar pugi massa.

            Es tracta de desviar objectes del cinturó de Kuiper, via petits impulsos que els portin a interaccions properes amb altres objectes —a l'afeli no cal gaire energia comparat amb el que costaria a les proximitats de la Terra—, de tal manera que a llarg termini, desprès de dotzenes d'intervencions espaiades desenes de milers d'anys, s'aconseguís modificar l'òrbita de l'objecte de manera que tingués un pas proper a la Terra.

            Amb un pas prop de la Terra adequat, d'un objecte de 200 km cada 5.000 anys, es podria aconseguir modificar la distància al sol de manera que compensés l'augment de radiació. Altra cosa seria en el moment que el sol es convertís, per un període de 400 milions d'anys, en una gegant vermella d'aquí 5.000 milions d'anys…

    • enriquito 8.691 13 244 👍 365

      Crec que la dificultat està més en el fet que siguin equacions ordinàries o en derivades parcials.  Les equacions ordinàries, fins i tot les que no tenen solució analítica, són numèricament trivials.  Quan el teu model és una EDP, sovint és molt difícil fer simulacions útils, fins i tot a petita escala.

    • __27371__ 5.636 6

      M'has fet recordar un problema que vaig tenir intentant fer un control posicional, que a mesura que passava el temps i augmentava una de les dimensions el control entrava en resonància amb les variacions que es produïen i es muntava un merder... 


      Riuria si no fes por de veure.


  • wik 16.362 14 95

    llavors ja tenim la prova per enviar-los a la presó, oi?

  • __1601__ 1.378 13 962 👍 39

    Fil molt interessant.


    Gràcies per penjar la notícia.

  • pirata1714 26.760 8 37 👍 437

    I don't understand a shit.

  • gerd 7.865 10 268 👍 685

    Per què els del lobby llibertari no diuen res? Segur que les seves aportacions serien molt interessants. 

  • Katalonien 6.320 7 300

    Voldria comentar unes quantes coses respecte l'article:


    - Cap a mig article fa referència a les opcions i altres actius derivats com a simples instruments "per apostar", o "per especular", indicant que "els que guanyen treuen els beneficis dels que perden". Més enllà d'aquests usos en té d'altres, com la cobertura de posicions de risc (hedging) tant d'inversors com d'entitats de fora del sector financer. Per exemple, una empresa que ha de rebre un pagament en dòlars d'aquí a uns mesos però ha de pagar els salaris en euros, pot protegir-se d'una baixada del dòlar respecte l'euro o bé adoptant una posició curta en un contracte de futurs EUR/USD, amb la data de quan ha de rebre el pagament (en aquest renunciaria als beneficis d'una pujada del dòlar però no tindria cost) o bé comprant opcions put sobre aquests futurs (en aquest cas tindria un cost d'entrada però si el dòlar s'enfortís respecte l'euro se'n beneficiaria). Altres exemples podrien ser empreses que depenen del preu de compra o de venda de matèries primeres. Una part important dels beneficis de les entitats financeres prové d'oferir productes a mida en el mercat no organitzat (over-the-counter, OTC), quan els que es poden trobar als intercanvis no s'ajusten suficientment a les necessitats d'aquests actors. En aquest cas poden tenir un benefici sense risc en aquestes operacions, sovint cobrint-les amb altres contractes derivatius.


    - Les limitacions de la fòrmula són conegudes i es tenen en compte a l'hora de fer les simulacions que donen el preu d'un derivatiu. La fòrmula preveu, entre d'altres, una volatilitat constant, quan aquesta és estocàstica i depenent del preu, o un tipus d'interès "sense risc" també constant, i aquest també és estocàstic. Es fa servir una corba de probabilitats semblant a la lognormal però no exactament igual.


    - La fòrmula no serveix per a arriscar ni especular. Simplement serveix per a saber el preu d'una opció donades unes circumstàncies.


    - El paràgraf final em sembla una mica manipulador (tampoc és que em sorprengui, sent el The Guardian...). Que la borsa pugi o no pugi no depèn de que sector financer ho faci bé o no, més enllà de la proporció que aquest sector representa a la borsa.


    - La causa de la crisi no és aquesta fòrmula. Ho és la gran quantitat de capital destruït a causa de destinar-lo a projectes subòptims, a causa de la planificació central dels tipus d'interès, que els situa més baixos del seu preu de mercat, simulant per tant que tenim més capital acumulat del que realment tenim. Del procès necessari per a tenir aquests tipus d'interès baixos sí que se n'han beneficiat les entitats financeres, i per aquest motiu se les pot criticar, però no pel fet que utilitzin instruments complexos.


    - El llibre "The Black Swan" de Taleb, mencionat a l'article, és una lectura interessant, si a algú li interessa.



  • 8.706.990 missatges
  • 202.254 temes
Fixa la barra dreta
Accedeix als fòrums Normes dels fòrums

més votats

Accedeix als fils més votats